立方和公式(立方和公式推导过程)

从勾股定理到坐标

从数学上的垂直与乘法相照应的关系,我们发现具有直角的几何图形会具有一些与算术相对应的特殊性质,这其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。

这个小学必学的知识,其本质来源于面积,下面这张图可以清晰地让人理解到底是为什么。

立方和公式(立方和公式推导过程)

现在让将勾股定理的方程稍加改造,得到一个二元方程:x^2+y^2=1^2

什么是方程?一方程其实就是关系的表征,比如上面这个方程,是用勾股定理改造出来的。所以我们同样可以将它以二维平面面积的方式来理解。直角三角形其实就是长方形的两条边与一条对角线,所以将x和y作为长度来看,这个方程就可以解析成“在对角线长度固定的情况下,所有满足条件的长方形边长关系”。

把这些长方形都画出来,如果这些长方形对角线的一端重合,那么另一端的点就会构成一个弧形。在这个弧形中每个点到重合点的距离都为1,也就是所谓的圆,上面这个方程也就变成了圆的方程。

立方和公式(立方和公式推导过程)

通过上面的分析我们可以得到一个概念,那就是“坐标”,用两个边长去确定由它构成的直角三角形的顶点。我们现在得到了两个“参数”与一个“规律”,用它们组成的数学式子就是“方程”。

为什么要从二维升到三维

那么现在让我们进入三维世界吧,不过不是我们熟悉的那种进入,而是从豆子的世界。

平铺豆子可能是最早计算面积的方法,但是我强调了一点,就是豆子不可能叠加,为什么呢?因为叠加的两个豆子它们的两个“参数”是完全一致的,我们没有办法用一个二维坐标区分它们俩,所以我们必须要再增加一个“参数”,也就是“高”。

有了长宽高,我们就可以用一个三维坐标(x,y,z)来确定一个唯一的点,两个叠加在一起的豆子也可以轻松区分彼此了。

立方和公式(立方和公式推导过程)

这里依然得强调,是因为空间本身存在“体积”,而用“长”与“宽”无法描述体积我们才会加入了“高”,这里的逻辑先后非常重要——是存在先行,描述才能跟进。

如果我们简单粗暴地直接把圆的方程进行扩展,把x^2+y^2=1^2变成x^2+y^2+z^2=1^2会得到什么呢?答案是球面的方程,这个方程的意思是:在立方体的对角线长度为1的情况下,所有满足条件的立方体相互间的边长关系。

立方和公式(立方和公式推导过程)

数学家的操作——加一维

好,到这儿为止都是我们可以轻松理解的东西,现在请你再看看圆与球的两个方程,如果你是数学家,你是不是觉得似乎可以顺水推舟地再做一些什么呢?

比如……再给它加个参数试试?整个x^2+y^2+z^2+w^2=1^2出来看看?

这个式子在算术上很好理解,四个参数,相互间满足一定的关系。

但是根据之前方程可以依托面积或体积照射到现实世界中的规律来看,我们是不是也可以将这个方程画出来呢?

不能……因为在我们生存的宏观世界,体积是空间的基本单位,不存在什么东西用三维无法描述,上文中强调的“存在先行”指出没有需要的维度是没有意义的,加入这个维度我们也找不到需要用它来描述的东西。

但是我们可以对其进行想象与计算,在数学上它与二维或是三维是平等的,所以数学家们当然不可能拒绝它。

这,就是所谓的四维空间。

多出来的一个维度意味着什么呢?如果存在一个四维空间的点,我们对其的认识就只有三个维,这就会造成与之前“叠加豆子”一样的效果,明明是两个不一样的点,但是在我们三维空间看来就是同一个点。

直接看坐标的话会更明显,比如我们找出三维空间中的一个点的坐标:(1,2,3)。那么在四维空间中,(1,2,3,1),(1,2,3,2),(1,2,3,3),(1,2,3,4)……这些点与三维的点共享前三个坐标。也就是说一个四维空间中的物体,它的很多点在三维都是完全重合的。

所以如果有一个四维空间的物体在三维空间被我们看到,那么你能看到的某个点可能是四维空间中的一个点,也可能是一条线;你看到的某条线可能只是一条线,也可能是一个面;你看到的某个面可能只是一个面,也可能是一个体。你看到的某个体可能只是一个体,也可能是“四维世界中无法描述的物体全貌”。

现在我们可以明白,x2+y2+z2+w2=12是四维球体(如果这个东西还能算球的话)的方程,它表示从中心点到对角线的距离都相等的所有四维立方体(如果这个东西还能算立方体的话)的四条边长关系。

研究四维有什么用?

相信你还记得文章开始的话,四维是否存在是不确定的,没有人可以证明其存在或不存在。那研究所谓的四维空间又有什么意义呢?

其实意义非常重大,比如我们对于宇宙的形状的理解。

以前的人们用三维理解宇宙,就解释不了“宇宙的边界外面是什么”这个问题。就像一个平面物体总是有边界的,没有无限大的一张纸。

但是我们可不可以将纸的边界消除同时又不影响面积呢?可以呀!只需要将纸卷起来,就会出现边界的外面是另一端的边界,首尾相接的情况,也就是在二维面中本来按照理解不可能相遇的两个点,在适当的情况下,可以是三维空间中的同一个点。

爱因斯坦对宇宙的理解也是如此,当我们一直向着一个方向前进时,看似稳定的三维空间其实是像纸卷一样在微微卷曲着。在某一刻,我们会来到一个离出发点最远的位置,在那里无论你向哪个方向直线移动,都会不断接近出发点。

没有边界的空间——

三维空间中看似南辕北辙的两个点其实是四维空间中的同一个点,宇宙的本质有可能是一个四维空间中的球体,遵循x^2+y^2+z^2+w^2=12方程的描述。这样的宇宙可以同时满足“体积有限”和“没有边界”两个条件。

怎么样,现在是不是对四维空间的来龙去脉和用处都弄明白了?

最后给聪明的你留一个思考题吧:有关四维空间还有一种描述方式,说二维是过一点可以作两条相互垂直的线,三维就是三条,四维就是四条。这与我上面的解释本质是一模一样的,你明白是为什么吗?

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