二次函数中的三角形
育才初中
但水平
二次函数中的三角形的问题是上海中考数学试卷中常见的热点。
在解决问题的过程中主要是运用二次函数的解析式和图形的对称性以及相似三角形相关知识，往往还会涉及方程、距离公式、锐角三角比等相关知识，有时会运用图形运动的相关知识。
在解决问题的过程中，首先要会熟练地用待定系数法、配方法等数学方法．还要会用有关的数学思想，如化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想，特别是分类讨论思想。
下面就让我们来看一看二次函数与相似三角形相结合的综合问题。
那么我们废话不多说，上真题！！
角相等
1、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax^2+6x+c的图像经过点A(4，0)、B(-1，0)，与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90o，tan∠DAE=12，EF⊥OD，垂足为F．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示)；
(3)当∠ECA =∠OAC时，求t的值．
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说明：本题是利用二次函数图像上的点组成图形与相似形结合，主要是运用了相似三角形中线段的比例关系来解决问题．难点是角相等这个条件的运用，如何由角的关系转化为边的关系。
待定系数法
2、如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O、且经过点A(3，3)，一次函数的图像经过点A和点B(6，0)。
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)如果一次函数图像与 相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图像相交于点E，∠DOE=45o，求点D的坐标。
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说明：本题以一次函数、二次函数为载体，结合相似三角形，运用方程思想，综合运用所学的知识和方法解决问题。
第(1)考查待定系数法这一基本方法的掌握情况，第(2)小题考查观察发现的能力、数与形结合的能力。
边的关系
3、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x^2-bx+c(b>0)的图像经过点A(-1，b)，与y轴相交于点B，且∠ABO的余切值为3。
如果这个函数图像的顶点为C，求证：∠ACB=∠ABO。
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说明：本题由于点A在函数图像上，所以点A的坐标满足函数解析式，从而求得点B的坐标，由b>0，可知点A在第二象限。
由点B的坐标和∠ABO的余切值为3，就可以画出线段AB。
再过点A作y轴的垂线，求出点A的坐标，由点A的坐标就可求出这个二次函数的解析式，从而得到顶点C的坐标。
然后与上题类似，利用边的关系得到相似三角形，故问题解决。
综合运用
4、在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(-3，0)、B(1，0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．
(1)求抛物线的函数解析式及其顶点C的坐标；
(2)在y轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．
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说明：(1)将A(-3，0)、B(1，0)，代入y=ax^2+bx+3求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可．
(2)首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D(0，3)或(0，1)，即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
(3)首先求出直线CM的解析式为y=k1x+b1，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧(如图②)，只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可。
此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别要注意数形结合是这部分考查的重点。
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