病态函数（维尔斯特拉斯判别法）

17世纪是天才的世纪，在科学史上，这一时期人的创造力达到登峰造极的程度。在这一时期丰富的科学成果中，最辉煌的莫过于微积分的创建。微积分的出现成为整个数学史，乃至科学史上一个具有划时代意义的重大事件。

微积分像两百年后的量子力学一样，有相似的特征：首先，从孕育到创建成，都经历相当长的一段历史时期；量子力学以不同形式出现，微积分也以纯几何推理，或以纯代数的不同方式出现；由于出现的方式不同，两个学科的伊始都是一对“孪生兄弟”，都形成彼此不断争吵的两个学派，过后又都被证明，这两个体系具有完全一样的本质。

像量子力学一样，微积分理论在创建过程中，也是明星璀璨，像牛顿、莱布尼茨、柯西、笛卡尔、巴罗、瓦里斯、维尔斯特拉斯、伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日等，他们都在定义、计算微分和定积分方面做出了自己的贡献。

量子力学的出现冲破了经典物理，开启了微观物理学，而微积分理论的创建，则冲破了占统治地位的常量数学，开启了变量数学，掀起了数学乃至科学史上的巨大变革，它们都成为了近现代科学发展的基石。

微积分分别出自两位世纪大师，牛顿和莱布尼茨之手，他们各自独立地建立起微积分体系的基础。两位大师殊途同归，在理论体系的创建过程中都占有开创性的地位。

1665年5月31日（按当时历法是5月20日）是数学史上重要的一天。这一天，牛顿写出一份微积分手稿，虽然这份手稿仅有一页，但它是人类有史以来关于微积分的最早记载，由此开创了人类的微积分新时代。

牛顿

这一时期，牛顿在家乡躲避瘟疫，在静心研究笛卡尔的《几何学》后，他对切线问题产生了浓厚的兴趣。对比古希腊关于求解无限小问题的文献，牛顿将切线问题总结为两种运算，即微分术（当时称为正流变数术）和积分术（当时称为反流变数术）。在随后的20年里，他一连发表了几篇论文，改善和补充他的微积分学说。

在1671年，牛顿又完成了他的第一部关于微积分的著作《流数法和无穷级数》。在这部书中，牛顿首先提出了“变量”的思想。他指出，由于点、线、面的连续运动而产生变量，这些变量是无限运动的结果，而不是无穷小的静止点的集合。牛顿引入微积分的思想与运动挂钩，他以连续运动的瞬时速度及运动的路程出发，对微分和积分展开了讨论。由于与运动学挂钩，使“变量”和“微积分”概念更加容易接受。可惜的是，这些超前思想最初并没有引起重视，使牛顿的这部书直到1736年才得以出版。

从年代上看，牛顿创建微积分要比莱布尼茨早，但由于英国与欧洲大陆隔绝，所建立的符号体系与运算规则不方便使用，使牛顿的微积分理论在影响上远不如莱布尼茨。

莱布尼茨

像牛顿一样，莱布尼茨的一生在数学和物理上也有不少贡献，在创建微积分上，他与牛顿享有同样高的声誉。莱布尼茨很早就认识到微分与积分为互逆运算，并给出了微积分的基本定理，也就是现在所说的“牛顿-莱布尼茨公式”，虽然这一公式在他提出的20年之后，才给出证明，但这绝不影响莱布尼茨对微积分的天才洞察力。

莱布尼茨的微积分发展较晚，他的最初的手稿完成于1675年10月25日，其中系统地建立了微积分的符号与运算规则，直到现在仍在沿用。

1684年，他又发表了一份著名的微积分文献，题目出奇的长：“一个求极大和极小的切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及与这种新方法相关的奇妙类型的计算”。题目如此之长，内容却较为简短，这篇论文竟然对微积分的创立产生了划时代的影响。

1686年，莱布尼茨又发表另一篇积分学的文献，首先创造了积分符号。莱布尼茨清醒地认识到，一个好的符号和运算体系更能节省思维，运用符号和规则的技巧是数学成功的关键之一。正因为如此，莱布尼茨的微积分比牛顿的更具有启示性，在推动数学发展方面，莱布尼茨功不可没。

尽管牛顿与莱布尼茨二人的微积分形式不同，但所建立的微积分体系的本质是一致的。牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念，使微积分更容易理解和掌握；而莱布尼茨则多从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，因而要比牛顿的更为规范和严密。两人从貌似完全不同的两个突破口出发，使微积分并驾齐驱地在两条不同的路线上创立起来。

牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

正当人们欣赏微积分创建宏业之际，因为微积分的两种形式而掀起的轩然大波，造成了欧洲大陆数学家与英国数学家的长期对立。在一个相当长的时间内，由于闭关锁国和民族偏见，英国数学过于拘泥于牛顿的“流数术”而裹足不前，失去了自身的发展优势，使英国数学几乎落后欧洲大陆一个世纪。

历史上任何一项重大的理论，在其创建之初，往往不免带有不足和缺陷。牛顿和莱布尼茨创立了微积分体系，却没能更深入地发展这一理论。例如，在无穷和无穷小量的说法上前后含糊，其说不一，牛顿的无穷小量有时候是零，有时候不是零；而莱布尼茨的无穷小量的说法也不能自圆其说。

由于早期微积分在严密性上的缺陷，导致数学上的第二次危机发生。直到19世纪初，经法国数学家柯西、德国数学家威尔斯特拉斯完善了极限理论，在康托尔、戴德金等人建立了实数理论之后，极限理论成为微积分的坚实基础，微积分才以充分严密化的方式发展起来。就这样，微积分的发展曲曲折折地经历了整整150年。

今天，微积分已经成为天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、应用科学和社会科学各分支中不可缺少的工具。特别是计算机发明之后，微积分在广泛应用之中愈发不断完善而丰富。

来源：《科学史上的365天》，略有删改

作者：魏凤文武轶

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病态函数（维尔斯特拉斯判别法）

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