设fx在ab上连续在ab内可导(连续可导求ab)

考纲原文

1.导数在研究函数中的应用

(1)了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

2.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题.

知识点详解

一、导数与函数的单调性

一般地,在某个区间(a,b)内:

(1)如果 f'(x)>0,函数(x)在这个区间内单调递增;

(2)如果f'(x)<0,函数(x)在这个区间内单调递减;

(3)如果f'(x)=0,函数(x)在这个区间内是常数函数.

注意:(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;

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(3)函数(x)在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0 )在(a,b)内恒成立,且 在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,在区间内的个别点处有f'(x)=0 ,不影响函数(x)在区间内的单调性.

二、利用导数研究函数的极值和最值

1.函数的极值

一般地,对于函数y=(x),

(1)若在点x=a处有′(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则称x=a(x)的极小值点, 叫做函数(x)的极小值.

(2)若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 ,则称x=b(x)的极大值点, 叫做函数(x)的极大值.

(3)极小值点与极大值点通称极值点,极小值与极大值通称极值.

2.函数的最值

函数的最值,即函数图象上最高点的纵坐标是最大值,图象上最低点的纵坐标是最小值,对于最值,我们有如下结论:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值.

设函数f(x) 在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为:

(1)求f(x)在(a,b)内的极值;

(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

3.函数的最值与极值的关系

(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言;

(2)在函数的定义区间[a,b]内,极大(小)值可能有多个(或者没有),但最大(小)值只有一个(或者没有);

(3)函数(x)的极值点不能是区间的端点,而最值点可以是区间的端点;

(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

三、生活中的优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.

解决优化问题的基本思路是:

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考向分析

考向一 利用导数研究函数的单调性

1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式 f'(x)>0(f'(x)<0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:

(1)求′(x);

(2)确认′(x)在(a,b)内的符号;

(3)作出结论,f'(x)>0 时为增函数,f'(x)<0时为减函数.

注意:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.

2.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集R可以省略不写.在对函数划分单调区间时,除必须确定使导数等于零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.

3.由函数f(x)的单调性求参数的取值范围的方法

(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f'(x)≥0 (或f'(x)≤0 )( f'(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围;

(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)<0 )在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题;

(3)若已知f(x) 在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.

4.利用导数解决函数的零点问题时,一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点,再利用导数判断在所给区间内的单调性,由此求解.

考向二 利用导数研究函数的极值和最值

1.函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)函数极值的判断:先确定导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.

(2)求函数f(x)极值的方法:

①确定函数f(x)的定义域.

②求导函数f'(x).

③求方程f'(x)=0的根.

④检查 f'(x)在方程的根的左、右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x) 在这个根处取得极小值;如果f'(x) 在这个根的左、右两侧符号不变,则 fx() 在这个根处没有极值.

(3)利用极值求参数的取值范围:确定函数的定义域,求导数f'(x),求方程f'(x)=0 的根的情况,得关于参数的方程(或不等式),进而确定参数的取值或范围.

2.求函数(x)在[a,b]上最值的方法

(1)若函数(x)在[a,b]上单调递增或递减,(a)与(b)一个为最大值,一个为最小值.

(2)若函数(x)在区间(a,b)内有极值,先求出函数(x)在区间(a,b)上的极值,与(a)、(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

(3)函数(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时,这个极值点就是最大(或最小)值点.

注意:

(1)若函数中含有参数时,要注意分类讨论思想的应用.

(2)极值是函数的“局部概念”,最值是函数的“整体概念”,函数的极值不一定是最值,函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.

3.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法:

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(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.

考向三 (导)函数图象与单调性、极值、最值的关系

1.导数与函数变化快慢的关系:如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.

2.导函数为正的区间是函数的增区间,导函数为负的区间是函数的减区间,导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.

考向四 生活中的优化问题

1.实际生活中利润最大,容积、面积最大,流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点,且在极值点附近左增右减,则此时唯一的极大值就是最大值.

2.实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关,解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手),将这一指标表示为自变量x的函数,利用导数或其他方法求出最值,但一定要注意自变量的取值范围.

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