几何平均数的计算公式(几何平均数公式和定义)

先简单说下自己数学的一轮规划。这个学科我打算分三个流程来搞。

流程一:整理。以知识点的编排顺序为基础,分章节做归纳和整理。

做归纳和整理主要是为了保证自己在校的有效学习,以及提高对知识点的理解掌握。

这部分素材来源于一轮教材、老师授课和我先前的一点小积累。

流程二:做题。纯粹以解题为目的,以题目为根基做总结。

题目来源包括但不限于800、必刷题、高考真题。

提几句,800的编排很有想法,适合用来做初始化的整理。

必刷题起手难度比较大,可以当作检验和提升的资料。高考真题主要指导数大题,这块800编得不好,可以自己找。

比如双变量就找近十年的天津卷,因为历年全国卷的考察还是以单变量为主。

三维设计这本书总结得很散,不全,但部分题目选的不错。

如果你们学校已经在用了,可以直接拿它当一轮的核心资料来做。如果没有就算了,没有特别购入的必要,用其他的也差不多。

反正一轮教材都这样。

流程三:再整理。将知识点和题的总结内化,最后简化成一份足以应考的内核资料。这个比较饼,由于水平有限,我暂时没想好怎么处理,还在摸索。

然后下面这个资料,是我在[集合与常用逻辑用语、不等式]专题做的知识点整理。你们可以拿来自己用,具体怎么用我待会细说。

把这个发出来是因为,我最近在找教辅的时候,深刻地意识到了一点:人的思维是具有狭隘性的。也就是说,一个人能看到的东西是片面的。

无论哪本教辅、一轮书,哪位老师、学生,即使他们思维水平很高,也做了很好的总结归纳,但他们的认知肯定都是不全面的,不完善的……

先不把话说死,这个结论仅适用于市面上的大部分教辅、普通的学生和老师。也就是我能找到的,我能接触到的。

所以这里涉及到一个集优的思想,就是他人往往可以为自己做出很好的查漏补缺。于是,我会陆续将自己整理的资料搬到这里。

主要目的是交流想法,寻求建议。当然,如果这能多少帮到你一点,我想也是好的。我所发布的所有资料都允许转载,但要求标明原作者。

下接对应分段的使用建议。一、90以下分段

这份资料以知识点和结论为主,不涉及任何推导过程,或许不太适合你。你在当前应该将学习重心放在理解和消化基础性的内容上。

这个基础性内容怎么来,你的老师和一轮教材都可以教给你。一轮教材就是现阶段最好的课本。因此你没有回归课本原题的必要,毕竟上面肯定会有对应的改编。

再者,你做整理的水平肯定不及你的一轮教材和老师。

先乖乖地沉下心来,把东西弄懂。

记住一点:在一轮过完之前,你考什么分数基本没有意义。

也就是你考20分跟你考80分没差别,无所谓。二、90-125分段

你可以把这份资料当作:1.一轮知识点速查手册

2.构造自己知识体系的模板

3.学完对应模块后查缺补漏的资料

4.你们老师PPT的配套讲义

5.没资源库能打的消遣读物

三、125-135分段

你有自己的知识体系。因此,这份资料对你来说价值不高。并且,相对于我,你的学习方法效率更高。但若有兴趣,你可以帮我做些查缺补漏。

比如某个知识点、某个结论,你有更优的解法,或者更有效的思维方式。

这些,欢迎随时同我交流。

函数这块还在慢慢整理,但已经差不多了。过几天会放上来。另外,高三的前辈们。高考加油。

集合与常用逻辑用语、不等式

模块一 集合

集合的核心思想:分类讨论

集合基本运算的两大工具:Venn图法、数轴法

注意区间端点值的检验,不等式是否取等取决于端点值的取舍

不同类型集合的交集为空集

不限制元素取值的一元点集可视作直线,交集可视作直线交点,A∩B=∅即两直线平行

集合问题的解题流程

1.确定集合[集合类型;元素的限制条件]

2.确定元素[得到元素最简形式]

3.运算求解[交并补定义;数轴或Venn图]

利用Venn图求集合中的元素个数

解题思路:设未知数,列方程求解

怎么做新定义问题

新定义问题的作用是筛选出细心的、阅读理解能力强的人,不慌张、心态更稳的人。

只要学会分析本质、按流程处理即可。

集合的新定义问题重在把握“集合的性质”。

·要点速记

1.有理数集:Q 复数集:C 最小的自然数是0

2.确定集合的子集或子集的个数

①由n个元素构成的集合有2n个子集

②由n个元素构成的集合有(2n-1)个真子集

③由n个元素构成的集合有(2n-1)个非空子集

④由n个元素构成的集合有(2n-2)个非空真子集

3.A∪B=B⇔A⊆B;A∩B=A⇔A⊆B;(CUA)∩B=∅⇔B⊆A

4.CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB);CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

5.分类讨论、分段函数求并集,其余均求交集

6.至少有一个不是空集→先求其全是空集,再求补集

·思维拓展

与集合有关的分类讨论问题有以下四类:

①集合所含元素具有互异性,对新集合元素进行互异性检验

②对已知集合的子集个数进行分类讨论

③分析某集合的子集/真子集是否为空集

[易错(1):A={-1,2},B⊆A,则B={-1}或B={2}或B={-1,2}或B=∅,求并集]

④解含参数的不等式(或方程)时,对参数进行分类讨论

[易错(2):A={x|ax²-3x+2=0}中只有一个元素,讨论a=0]

[易错(3):B={x|mx=1}是A集合的子集,讨论m=0]

模块二 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

常用逻辑用语的核心思想:等价转化

判断充要条件的两种方法:定义法[是否互推]、集合法[包含关系]

①要分清条件和结论分别是什么

②要从充分性、必要性两个方面进行判断

③直接判断比较困难时,可举出反例说明

全称命题与特称命题的否定步骤:改写量词、否定结论

①对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词,再改变量词

②全称命题的改写用x,特称命题的改写用x0

求参数范围记得加上题干对参数的取值限制

·要点速记

1.小范围⇒大范围[“小”必须为“大”的非空真子集][小可推大,大不可推小]

2.设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B

①p是q的充分不必要条件⇔A⊊B

②p是q的必要不充分条件⇔B⊊A

③p是q的充要条件⇔A=B

3.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A);A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)

[速记:x是x的xxx[正推];x的x是xxx[逆推]]

4.互为逆否关系的命题同真假同结论

[逆否命题:“若p则q”和“若¬q则¬p”]

·思维拓展

双变量“存在性或任意性”问题

此类问题可等价转化为探究两个函数值域或最值之间的关系。

若两个函数之间为等量关系,即为值域关系;若两个函数之间为不等关系,即为最值关系。

类型一 对∀x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立

⇔函数f(x)值域是g(x)值域的子集

类型二 对∃x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)与g(x)值域的交集不为空集[补集思想]

类型二-变式 对∀x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)与g(x)值域相等

类型三 对∀x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)>g(x2)成立

⇔[f(x)]min>[g(x)]min

类型三-变式 对∀x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)>g(x2)成立

⇔[f(x)]min>[g(x)]max

类型三-变式 对∃x1∈A,∀x2∈B,使得f(x1)>g(x2)成立

⇔[f(x)]max>[g(x)]max

类型三-变式 对∃x1∈A,∃x2∈B,使得f(x1)>g(x2)成立

⇔[f(x)]max>[g(x)]min

模块三 不等关系与一元二次不等式

重难点:不等式的性质及应用

解:不等式

解集:描述法或区间

比较大小的两种途径:作差法、作商法

作差法:通分、因式分解、配方等

作商法:分母/分子有理化、指对数恒等变形等

①优先将原式整理化简再考虑作差作商

②作商法应首先确认a,b符号,结论仅同号成立

不等式的基本性质

1.对称性 2.传递性 3.同向可加性 4.同向同号可乘性 5.同正可乘方 6同正可开方

①同向不等式可以相加,不能相减

②同乘正数不等号方向不变,同乘负数不等号方向改变

处理一元二次方程的基本方法:十字相乘法、求根公式法

一元二次不等式:配方+数形结合 含参一元二次不等式:分类讨论

恒成立问题:分类讨论、分离参数、主元法(知参恒成立求x)

[二次函数速解:f(x)≤0在[a,b]恒成立→联立f(a)≤0,f(b)≤0,取交集]

[前提条件:f(x)为二次函数且开口向上(二次项系数为正实数或正参数)]

·要点速记

1.已知二次函数解集→已知两根[首选韦达处理,次选方程组法]

2.a<b且1/a<1/b⇔a<0<b

3.分数性质:同加趋近1,同减远离1

4.简单分式不等式乘除互换:若可取等,注意分式对定义域的限制;若不取等,可直接互推

5.韦达定理二级结论:|x1-x2|=√Δ/|a|

6.对于开口确定的二次函数动轴动区间问题,优先选用[速解]

7.若已知二次函数的两个零点,可直接用两根法表示该函数[f(x)=a(x-m)(x-n)]

8.待定系数法有时可用于配凑不等式,并结合不等式的基本性质解题

9.再次强调!端点值单独考虑!

·思维拓展

一、解不等式问题归纳

[集合]通常与[不等式]结合进行考察

1.一元二次不等式:配方+数形结合

2.含绝对值不等式:零点分段法

3.分式不等式:移项、通分、化整式、变正号

4.简单高次不等式:数轴标根、奇穿偶回[右上起]

5.指对数不等式:指数取对数,对数化同底

6.三角不等式:结合图象数形结合

二、多项式快捷拆分

原理:利用平方差、完全平方等基础公式,使项内部分代数式合并相乘

如(m-x+1)(m+x)可看作(m-x)(m+x)+(m+x)

模块四 基本不等式

基本不等式的核心思想:结构意识、整体思想

基本不等式:√ab≤(a+b)/2

①一正二定三相等

②(a+b)/2为算数平均数,√ab为几何平均数

③积定和最小,和定积最大

④重要不等式:a²+b²≥2ab[解三角形最值问题]

利用基本不等式求最值

1.配凑法:代数式的灵活变形、添项拆项

2.常数代换法:巧用1相乘/相除

3.消元法:代数式中变量较多(或者你真的做不出来了)

4.多次利用基本不等式:注意取等号条件的一致性

5.部分题目可先部分化简(如通分/有理化/两侧平方),后进行配凑,解法较为灵活

6.部分题目在配凑时涉及不等式的性质及应用,要求精准处理

7.若a,b同正且和/积为定值,则对两者取值范围已存在隐藏限制条件

8.求解实际应用类问题要注意是否取等,若不可取等则利用对勾函数单调性求解

9.对变量给出限制条件时,应注意不等号方向(即a,b为正或为负)

10.(a²+b²)最值:消元法

压轴:x+y=(1/x)+(4/y)+8,x,y>0,求(x+y)min

①配凑[观察结构:同乘(x+y)]:(x+y)²=(y/x)+(4x+y)+5+8(x+y)≥9+8(x+y)

设(x+y)为t,t²-8t-9≥0,即(t-9)(t+1)≥0,t≥9

②巧用1:(x+y)=1/8(x+y)(x+y-(1/x)-(4/y))

·思维拓展

平方平均数Qn= 算数平均数An= 几何平均数Gn= 调和平均数Hn=

Hn≤Gn≤An≤Qn[取等条件:当且仅当a=b]

灵活应用这些不等关系,可快速处理关于基本不等式的多项选择题

[注:灵活应用指适当变形,如设a为√a,设b为1/b等]

拓展模块 线性规划

线性规划的核心思想:数形结合

线性规划问题:求目标函数在约束条件下的最值问题

线性规划问题基本解题流程

①作出平面区域

②将目标函数转化为斜截式

③作一条基准线,平移

※看清直线和直线的相对位置关系[平缓或陡峭]

线定界,点定域;确认虚实,优选原点

一个最优解:通常在可行域的顶点处取得

多个最优解:一般在可行域的边界上取得

ax+by=z:b>0,上移z增下移z减;b<0,上移z减下移z增

线性规划中的参数问题:讨论参数取值,分别画出可行域

线性规划的实际应用:通常设两种产品件数为x,y;总利润为目标函数z

·思维拓展

线性规划问题的转化思想

1.点(m,n)在不等式ax+by+c>0所表示的平面区域内→(m,n)代入不等式求解

2.点(x1,y1)和点(x2,y2)在直线ax+by+c=0的两侧→两点代入方程异号

3.某三角形平面区域被过其顶点的直线l分为面积相等的两部分→直线l过底边中点

4.直线x=a将平面区域分为面积之比为1:4的两部分→先求总面积,再得到对应面积求参

5.二元一次目标函数取得最小值的最优解有无数个→对应直线与可行域边界重合

6.非线性目标函数的最值(几何意义)

①z=y/x (斜率) ②z=x²+y²(距离) ③z=x-y (截距)

高考新题型:多项选择

直接法、特值法、反证法、数形结合法

几何平均数的计算公式(几何平均数公式和定义)几何平均数的计算公式(几何平均数公式和定义)

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