几何平均数的计算公式（几何平均数公式和定义）

先简单说下自己数学的一轮规划。这个学科我打算分三个流程来搞。

流程一：整理。以知识点的编排顺序为基础，分章节做归纳和整理。

做归纳和整理主要是为了保证自己在校的有效学习，以及提高对知识点的理解掌握。

这部分素材来源于一轮教材、老师授课和我先前的一点小积累。

流程二：做题。纯粹以解题为目的，以题目为根基做总结。

题目来源包括但不限于800、必刷题、高考真题。

提几句，800的编排很有想法，适合用来做初始化的整理。

必刷题起手难度比较大，可以当作检验和提升的资料。高考真题主要指导数大题，这块800编得不好，可以自己找。

比如双变量就找近十年的天津卷，因为历年全国卷的考察还是以单变量为主。

三维设计这本书总结得很散，不全，但部分题目选的不错。

如果你们学校已经在用了，可以直接拿它当一轮的核心资料来做。如果没有就算了，没有特别购入的必要，用其他的也差不多。

反正一轮教材都这样。

流程三：再整理。将知识点和题的总结内化，最后简化成一份足以应考的内核资料。这个比较饼，由于水平有限，我暂时没想好怎么处理，还在摸索。

然后下面这个资料，是我在[集合与常用逻辑用语、不等式]专题做的知识点整理。你们可以拿来自己用，具体怎么用我待会细说。

把这个发出来是因为，我最近在找教辅的时候，深刻地意识到了一点：人的思维是具有狭隘性的。也就是说，一个人能看到的东西是片面的。

无论哪本教辅、一轮书，哪位老师、学生，即使他们思维水平很高，也做了很好的总结归纳，但他们的认知肯定都是不全面的，不完善的……

先不把话说死，这个结论仅适用于市面上的大部分教辅、普通的学生和老师。也就是我能找到的，我能接触到的。

所以这里涉及到一个集优的思想，就是他人往往可以为自己做出很好的查漏补缺。于是，我会陆续将自己整理的资料搬到这里。

主要目的是交流想法，寻求建议。当然，如果这能多少帮到你一点，我想也是好的。我所发布的所有资料都允许转载，但要求标明原作者。

下接对应分段的使用建议。一、90以下分段

这份资料以知识点和结论为主，不涉及任何推导过程，或许不太适合你。你在当前应该将学习重心放在理解和消化基础性的内容上。

这个基础性内容怎么来，你的老师和一轮教材都可以教给你。一轮教材就是现阶段最好的课本。因此你没有回归课本原题的必要，毕竟上面肯定会有对应的改编。

再者，你做整理的水平肯定不及你的一轮教材和老师。

先乖乖地沉下心来，把东西弄懂。

记住一点：在一轮过完之前，你考什么分数基本没有意义。

也就是你考20分跟你考80分没差别，无所谓。二、90-125分段

你可以把这份资料当作：1.一轮知识点速查手册

2.构造自己知识体系的模板

3.学完对应模块后查缺补漏的资料

4.你们老师PPT的配套讲义

5.没资源库能打的消遣读物

三、125-135分段

你有自己的知识体系。因此，这份资料对你来说价值不高。并且，相对于我，你的学习方法效率更高。但若有兴趣，你可以帮我做些查缺补漏。

比如某个知识点、某个结论，你有更优的解法，或者更有效的思维方式。

这些，欢迎随时同我交流。

函数这块还在慢慢整理，但已经差不多了。过几天会放上来。另外，高三的前辈们。高考加油。

集合与常用逻辑用语、不等式

模块一 集合

集合的核心思想：分类讨论

集合基本运算的两大工具：Venn图法、数轴法

注意区间端点值的检验，不等式是否取等取决于端点值的取舍

不同类型集合的交集为空集

不限制元素取值的一元点集可视作直线，交集可视作直线交点，A∩B=∅即两直线平行

集合问题的解题流程

1.确定集合[集合类型；元素的限制条件]

2.确定元素[得到元素最简形式]

3.运算求解[交并补定义；数轴或Venn图]

利用Venn图求集合中的元素个数

解题思路：设未知数，列方程求解

怎么做新定义问题

新定义问题的作用是筛选出细心的、阅读理解能力强的人，不慌张、心态更稳的人。

只要学会分析本质、按流程处理即可。

集合的新定义问题重在把握“集合的性质”。

·要点速记

1.有理数集：Q 复数集：C 最小的自然数是0

2.确定集合的子集或子集的个数

①由n个元素构成的集合有2n个子集

②由n个元素构成的集合有（2n-1）个真子集

③由n个元素构成的集合有（2n-1）个非空子集

④由n个元素构成的集合有（2n-2）个非空真子集

3.A∪B=B⇔A⊆B；A∩B=A⇔A⊆B；(CUA)∩B=∅⇔B⊆A

4.CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)；CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

5.分类讨论、分段函数求并集，其余均求交集

6.至少有一个不是空集→先求其全是空集，再求补集

·思维拓展

与集合有关的分类讨论问题有以下四类：

①集合所含元素具有互异性，对新集合元素进行互异性检验

②对已知集合的子集个数进行分类讨论

③分析某集合的子集/真子集是否为空集

[易错(1)：A={-1,2}，B⊆A，则B={-1}或B={2}或B={-1,2}或B=∅，求并集]

④解含参数的不等式（或方程）时，对参数进行分类讨论

[易错(2)：A={x|ax²-3x+2=0}中只有一个元素，讨论a=0]

[易错(3)：B={x|mx=1}是A集合的子集，讨论m=0]

模块二 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

常用逻辑用语的核心思想：等价转化

判断充要条件的两种方法：定义法[是否互推]、集合法[包含关系]

①要分清条件和结论分别是什么

②要从充分性、必要性两个方面进行判断

③直接判断比较困难时，可举出反例说明

全称命题与特称命题的否定步骤：改写量词、否定结论

①对没有量词的命题要结合命题的含义加上量词，再改变量词

②全称命题的改写用x，特称命题的改写用x0

求参数范围记得加上题干对参数的取值限制

·要点速记

1.小范围⇒大范围[“小”必须为“大”的非空真子集][小可推大，大不可推小]

2.设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B

①p是q的充分不必要条件⇔A⊊B

②p是q的必要不充分条件⇔B⊊A

③p是q的充要条件⇔A=B

3.A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)；A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)

[速记：x是x的xxx[正推]；x的x是xxx[逆推]]

4.互为逆否关系的命题同真假同结论

[逆否命题：“若p则q”和“若¬q则¬p”]

·思维拓展

双变量“存在性或任意性”问题

此类问题可等价转化为探究两个函数值域或最值之间的关系。

若两个函数之间为等量关系，即为值域关系；若两个函数之间为不等关系，即为最值关系。

类型一 对∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔函数f(x)值域是g(x)值域的子集

类型二 对∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)与g(x)值域的交集不为空集[补集思想]

类型二-变式 对∀x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)=g(x2)成立

⇔f(x)与g(x)值域相等

类型三 对∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]min＞[g(x)]min

类型三-变式 对∀x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]min＞[g(x)]max

类型三-变式 对∃x1∈A，∀x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]max＞[g(x)]max

类型三-变式 对∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＞g(x2)成立

⇔[f(x)]max＞[g(x)]min

模块三 不等关系与一元二次不等式

重难点：不等式的性质及应用

解：不等式

解集：描述法或区间

比较大小的两种途径：作差法、作商法

作差法：通分、因式分解、配方等

作商法：分母/分子有理化、指对数恒等变形等

①优先将原式整理化简再考虑作差作商

②作商法应首先确认a,b符号，结论仅同号成立

不等式的基本性质

1.对称性 2.传递性 3.同向可加性 4.同向同号可乘性 5.同正可乘方 6同正可开方

①同向不等式可以相加，不能相减

②同乘正数不等号方向不变，同乘负数不等号方向改变

处理一元二次方程的基本方法：十字相乘法、求根公式法

一元二次不等式：配方+数形结合 含参一元二次不等式：分类讨论

恒成立问题：分类讨论、分离参数、主元法(知参恒成立求x)

[二次函数速解：f(x)≤0在[a,b]恒成立→联立f(a)≤0，f(b)≤0，取交集]

[前提条件：f(x)为二次函数且开口向上(二次项系数为正实数或正参数)]

·要点速记

1.已知二次函数解集→已知两根[首选韦达处理，次选方程组法]

2.a＜b且1/a＜1/b⇔a＜0＜b

3.分数性质：同加趋近1，同减远离1

4.简单分式不等式乘除互换：若可取等，注意分式对定义域的限制；若不取等，可直接互推

5.韦达定理二级结论：|x1-x2|=√Δ/|a|

6.对于开口确定的二次函数动轴动区间问题，优先选用[速解]

7.若已知二次函数的两个零点，可直接用两根法表示该函数[f(x)=a(x-m)(x-n)]

8.待定系数法有时可用于配凑不等式，并结合不等式的基本性质解题

9.再次强调！端点值单独考虑！

·思维拓展

一、解不等式问题归纳

[集合]通常与[不等式]结合进行考察

1.一元二次不等式：配方+数形结合

2.含绝对值不等式：零点分段法

3.分式不等式：移项、通分、化整式、变正号

4.简单高次不等式：数轴标根、奇穿偶回[右上起]

5.指对数不等式：指数取对数，对数化同底

6.三角不等式：结合图象数形结合

二、多项式快捷拆分

原理：利用平方差、完全平方等基础公式，使项内部分代数式合并相乘

如(m-x+1)(m+x)可看作(m-x)(m+x)+(m+x)

模块四 基本不等式

基本不等式的核心思想：结构意识、整体思想

基本不等式：√ab≤(a+b)/2

①一正二定三相等

②(a+b)/2为算数平均数，√ab为几何平均数

③积定和最小，和定积最大

④重要不等式：a²+b²≥2ab[解三角形最值问题]

利用基本不等式求最值

1.配凑法：代数式的灵活变形、添项拆项

2.常数代换法：巧用1相乘/相除

3.消元法：代数式中变量较多(或者你真的做不出来了)

4.多次利用基本不等式：注意取等号条件的一致性

5.部分题目可先部分化简(如通分/有理化/两侧平方)，后进行配凑，解法较为灵活

6.部分题目在配凑时涉及不等式的性质及应用，要求精准处理

7.若a,b同正且和/积为定值，则对两者取值范围已存在隐藏限制条件

8.求解实际应用类问题要注意是否取等，若不可取等则利用对勾函数单调性求解

9.对变量给出限制条件时，应注意不等号方向(即a,b为正或为负)

10.(a²+b²)最值：消元法

压轴：x+y=(1/x)+(4/y)+8，x,y＞0，求(x+y)min

①配凑[观察结构:同乘(x+y)]：(x+y)²=(y/x)+(4x+y)+5+8(x+y)≥9+8(x+y)

设(x+y)为t，t²-8t-9≥0，即(t-9)(t+1)≥0，t≥9

②巧用1：(x+y)=1/8(x+y)(x+y-(1/x)-(4/y))

·思维拓展

平方平均数Qn= 算数平均数An= 几何平均数Gn= 调和平均数Hn=

Hn≤Gn≤An≤Qn[取等条件：当且仅当a=b]

灵活应用这些不等关系，可快速处理关于基本不等式的多项选择题

[注：灵活应用指适当变形，如设a为√a，设b为1/b等]

拓展模块 线性规划

线性规划的核心思想：数形结合

线性规划问题：求目标函数在约束条件下的最值问题

线性规划问题基本解题流程

①作出平面区域

②将目标函数转化为斜截式

③作一条基准线，平移

※看清直线和直线的相对位置关系[平缓或陡峭]

线定界，点定域；确认虚实，优选原点

一个最优解：通常在可行域的顶点处取得

多个最优解：一般在可行域的边界上取得

ax+by=z：b＞0,上移z增下移z减；b＜0,上移z减下移z增

线性规划中的参数问题：讨论参数取值，分别画出可行域

线性规划的实际应用：通常设两种产品件数为x,y；总利润为目标函数z

·思维拓展

线性规划问题的转化思想

1.点(m,n)在不等式ax+by+c＞0所表示的平面区域内→(m,n)代入不等式求解

2.点(x1,y1)和点(x2,y2)在直线ax+by+c=0的两侧→两点代入方程异号

3.某三角形平面区域被过其顶点的直线l分为面积相等的两部分→直线l过底边中点

4.直线x=a将平面区域分为面积之比为1:4的两部分→先求总面积，再得到对应面积求参

5.二元一次目标函数取得最小值的最优解有无数个→对应直线与可行域边界重合

6.非线性目标函数的最值（几何意义）

①z=y/x (斜率) ②z=x²+y²(距离) ③z=x-y (截距)

高考新题型：多项选择

直接法、特值法、反证法、数形结合法